قضیه بنیادی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به طور یکتا به صورت حاصل ضرب اعداد اول نوشت. !n ها بر اعداد اول بزرگ‌تر از n بخش‌پذیر نیستند.

فوتون با اتم سه نوع بر هم کنش دارد:۱-جذب ۲-گسیل خود به خود ۳-گسیل القایی جذب: می دانیم اگر الکترون اتمی در حالت  پایه باشد با جذب فوتون مناسب ،اتم به حالت برانگیخته می رود این بر هم کنش فوتون با اتم را جذب می گوئیم .  گسیل خود به خود:هرگاه اتمی در یک حالت بر […]

اگر شرایط خلاء باشد مدت زمانی که طول می‌کشد تا جسم به نقطه اوج می‌رسد با مدت زمانی که طول می‌کشد از نقطه اوج به نقطه پرتاب برگردد برابر است. اگر جسمی در راستای قائم رو به بالا پرتاب شود، در هر ارتفاع معین سرعت رفت با سرعت برگشت از نظر اندازه با هم برابر […]

تبخیر سطحی: جدا شدن مولکول های مایع از سطح خارجی آن را که در هر دمایی رخ می دهد را تبخیر سطحی می گوییم. عوامل موثر بر تبخیر سطحی: ۱-افزایش دما ۲-افزایش سطح ۳-وزش نسیم ۴-کاهش فشار تفاوت بین تبخیر سطحی و جوشیدن:۱- جوشیدن در نقطه جوش رخ می دهد ولی تبخیر سطحی در هر دمایی اتفاق می افتد. ۲- در جوشیدن […]

بردارهای یکه: بردارهای یکه بردارهایی هستند که از نظر اندازه واحد بوده و فقط جهت محور های مختصات را نشان می ­دهند. هر بردار را می­ توان برحسب بردارهای یکه نوشت به شرطی که مؤلفه ­های آن معلوم باشد.

نزدیک‌ترین فاصله‌ای که جسم از تصویر حقیقی‌اش می‌تواند داشته باشد، برابر ۴f است و آن در حالتی است که جسم بر روی ۲f قرار می‌گیرد و در این حالت بزرگنمایی یک است.

پرتوهای نور در صورتی­ از آب خارج می­ شوند که زاویه تابش آن­ ها کمتر از زاویه حد باشد.

همیشه محیطی که ناظر در آن قرار دارد را محیط دوم فرض می ­کنیم.

هرجسمی که حرکت کند، انرژی دارد و انرژی وابسته به حرکت یک جسم را انرژی حرکتی یا انرژی جنبشی نامیدیم. هر چه جسمی تندتر حرکت کند، انرژی جنبشی بیش­تری دارد و هنگامی­ که جسم ساکن باشد، انرژی جنبشی آن صفر است. یکاهای SI جرم و تندی به ترتیب کیلوگرم (kg) و متر بر ثانیه (m/s) […]

اگر حجم دو مایع با هم برابر باشد، چگالی مخلوط ،میانگین چگالی هر یک از آن‌ها می‌شود.

به زبان ساده‌تر احتمال یعنی اندازه‌گیری سهم، مثلاً وقتی می‌گوییم یک تاس ۶ حالت دارد پس سهم عدد یک چیست؟ می‌گوییم سهم عدد یک، یکی از ۶ تا می‌باشد. A پیشامدی از فضای نمونه‌ای S است. احتمال نشدنی: ۰=P(A) احتمال حتمی: ۱=P(A) جواب احتمال بین صفر و یک است.

با هر سه نقطه غیرواقع بر یک خط راست می­ توان یک مثلث ساخت ۲ نقطه از خط بالایی و ۱ نقطه از خط پایینی یا ۱ نقطه از خط بالا و ۲ نقطه از خط پائین. تعداد کل زیرمجموعه ­ها در مجموعه n عضوی = ۲ⁿ

برای به­ دست آوردن فاکتوریل یه عدد طبیعی باید آن عدد را در تمام اعداد طبیعی کوچک­تر از خودش ضرب کنیم. فاکتوریل یک عدد از خود عدد شروع می ­­شود و به عدد یک ختم می­ شود. عمل فاکتوریل را می ­توانیم هر جایی قطع کنیم به شرط آن­که در جلوی جمله آخر علامت فاکتوریل […]

اگر نمایش یک تابع به­ صورت زوج مرتب در اختیار باشد، مجموعه­ ی همه­ ی مؤلفه­ های اول زوج­ های مرتب دامنه و مجموعه­ ی همه مؤلفه ­های دوم آن­ ها، برد تابع خواهد بود. اگر نمایش یک تابع به ­صورت نمودار در اختیار باشد؛ تصویر نمودار روی محور افقی دامنه و تصویر نمودار روی […]

|x|≥x≥-|x| k≥ₒ , |x|≤k → -k≤x≤k |xy|=|x|.|y|

طول رأس همان محور تقارن سهمی است. در تابع درجه دوم اگر ضریب x به توان ۲ بزرگتر از ۰ باشد، سهمی رو به بالا و اگر ضریب x به توان ۲ کوچکتر از ۰ باشدسهمی رو به پائین باز می­شود. اگر ضریب x به توان ۲ بزرگتر از ۰ باشد سهمی min دارد و […]

توجه شود که در معادله­ ی درجه دوم ضریب x به توان ۲ مخالف ۰ است؛ زیرا در غیر این صورت معادله­ ی درجه دوم به معادله درجه اول تبدیل می­ شود.

می­دانیم هر ۳۶۰ درجه که حرکت کنیم به سر جای اولمان برمی­گردیم بنابراین اگر زاویه خیلی بزرگ بود آن را بر ۳۶۰ تقسیم می­کنیم. گاهی یک نسبت مثلثاتی را می­ دهند و نسبت­ های دیگر را می­ خواهند، که به دو روش حل می­ شود و یکی از طریق روابط مثلثاتی یکی از طریق رابطه […]

دایره مثلثاتی دایره­ای است که جهت مثبت آن خلاف جهت حرکت عقربه­ های ساعت بوده و شعاع آن واحد است و نقطه­ ای به­ عنوان مبدأ مانند A روی آن در نظر گرفته می­ شود. دایره مثلثاتی دایره­ ای است به مرکز مبدأ و شعاع ۱ و دارای جهت که جهت مثبت آن در خلاف […]

دنباله عددی  ….و۴۸و۲۴و۱۲و۶و۳ را در نظر بگیرید از جمله دوم به بعد، هر جمله دو برابر جمله قبل از آن است. این دنباله را یک دنباله هندسی می نامند. اگر در یک دنباله از اعداد، هر جمله (غیر از جمله اول) با ضرب یک مقدار ثابت مانند q در جمله قبلی بدست آید به آن […]

به هر تعدادی از اعداد که آن‌ها را پشت سر هم نوشته باشیم، یک دنباله از اعداد می گوییم مانند مجموعه اعداد طبیعی به هر عدد که در یک دنباله قرار گرفته است، یک جمله­ ی آن دنباله می‌نامند. دنباله­ای از اعداد را به ما می‌دهند و جمله عمومی را از ما می­خواهند.

اگرپیشامد A پیشامدی نشدنی باشد، آنگاه ۰=(P(A است. اگرپیشامد A پیشامدی قطعی باشد، آنگاه ۱=(P(A است.

اگر در یک فضای نمونه­ای همه­ی برآمدها هم شانس باشند این فضا را فضای نمونه­ ای هم شانس گویند.

مجموعه به عنوان دسته ای از اشیای کاملا معین در نظر گرفته می شود که با نام بردن اعضای آن یا معرفی خاصیت مشترک اعضای آن، مشخص می شود. مجموعه را معمولاً با حروف بزرگ مانند …A,B,C نشان می دهیم. اشیایی که با هم مجموعه مفروضی را تشکیل می دهند عضوها یا عنصرهای آن مجموعه […]

در این استدلال، فرض می کنیم که حکم برقرار باشد. سپس با اعمال یک دسته از روابط ساده سازی مجاز روی حکم، به یک رابطه بدیهی و یا فرض قضیه می رسیم. حال به شرط برگشت پذیر بودن مراحل انجام شده حکم ما اثبات شده است.

استدلالی است که با استفاده از حقایقی که قبلاً پذیرفته ایم و یا قضیه هایی که قبلاً ثابت کردیم به اثبات یک مسئله می پردازیم. نتیجه حاصل از این استدلال حتما درست است، بنابراین زمانی از این استدلال استفاده می کنیم که مطمئن هستیم حکم ما درست است. در بین استدلال های موجود قطعی ترین […]

هر دنباله که دو جمله اول آن ۱ و هر جمله بعدی آن برابر مجموع دو جمله قبل از آن باشد دنباله فیبونانچی گوییم. با توجه به جملات دنباله فیبونانچی می توان گفت جملات این دنباله: ۱-دو در میان بر ۲ بخش پذیرند. ۲-سه در میان بر ۳ بخش پذیرند. ۳-چهار در میان بر۵ بخش […]

مجموع جملات دنباله هندسی: برای به دست آوردن مجموع n جمله اول یک دنباله هندسی از فرمول زیر استفاده می کنیم که در آن a1 جمله اول ،q قدر نسبت و n تعداد جملات است.

برای نوشتن معادله یک خط نیاز به شیب و مختصات یک نقطه از آن خط داریم. خط y=x نیمساز ربع اول و سوم است و شیب آن برابر ۱ است. هر نقطه روی این خط دارای طول و عرض مساوی است. خط y=-x نیمساز ربع دوم و چهارم است و شیب آن برابر ۱- است. […]

مفهوم کلی تابع: تابع ماشینی (دستگاهی) است که به ازای یک ورودی که به آن می‌دهیم فقط و فقط یک خروجی به ما می‌دهد. این دستگاه اگر به ازای یک ورودی، دو خروجی مختلف به ما داد، تابع نمی‌باشد. تابع در ریاضیات به‌ سه حالت اصلی نمایش داده می‌شود: ۱٫ نمایش تابع در حالت زوج مرتب  […]

در عبارت ­های ضربی اگر عبارتی به ازای صفر شود، در اینصورت به آن عبارت عامل صفر می­ گویند، برای مشتق­ گیری از این تابع، مستقیماً از عامل صفر مشتق بگیرید و سپس مابقی عبارت ­ها را در آن ضرب نمایید. در توابع ضربی اگر توان عامل صفر بزرگ ­تر از یک باشد، مشتق قسمت […]

دنباله بازگشتی : دنباله ای که ضابطه آن به نحوی باشد که هر جمله آن به جمله ما قبل خود وابسته باشد، دنباله بازگشتی نامیده می شود و به طور مستقل نمی توان مستقیما جمله ای خاص را تعیین کرد. اگر دنباله بازگشتی کراندار و یکنوا باشد، در این صورت همگراست.